El teorema del panal es un concepto fascinante que combina matemáticas y biología para explicar por qué las abejas construyen sus celdas de panal con forma hexagonal. Este fenómeno ha intrigado a científicos y matemáticos durante siglos, desde la antigüedad hasta nuestros días.
Orígenes Históricos
Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Unos siglos más tarde, otro matemático, Pappus de Alejandría postuló lo que aún hoy se conoce como la conjetura del panal y que viene a decir lo mismo que dijo Varro pero con una jerga más complicada: “si dividimos una superficie dada en secciones de igual área, resulta ser la división en hexágonos la que lo hace con el menor perímetro”. Este fenómeno ya despertó la curiosidad de numerosos estudiosos en la antigüedad.
El Problema de las Abejas
Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Al final del primer párrafo se dice que sólo se podría aprovechar el espacio al máximo con triángulos, cuadrados y hexágonos.
La Demostración Matemática
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Bien, pues en 1999 el matemático de la Universidad de Michigan Thomas C. Hales demostró lo que ya Varro había intuido: que los hexágonos son el medio más económico para construir un panal, sólo que lo hizo de modo absolutamente preciso y también bastante más complejo, por lo menos para aquellos que somos legos en la materia. Les dejo aquí la fórmula que usó para demostrarlo.
Eficiencia y Economía
Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. Lo cierto es que esta estructura permite a las abejas construir celdillas con el volumen suficiente para almacenar miel para el invierno y proporcionar espacio suficiente para sus larvas utilizando muy poco material de construcción. Este material no es otro que la cera -sintetizada en unas glándulas abdominales de las obreras- y resulta bastante cara de producir. Para segregar 1 gr de cera, una abeja debe consumir unos 15 g de miel.
Ángulos y Volumen
Pero no termina aquí la aventura matemática de las colmenas. Ni mucho menos. El astrónomo italiano Maraldi (1665-1729) midió los ángulos que formaban estos rombos y determinó que eran 109º 28´ el mayor y 70º 32´ el menor. Unos años más tarde el físico francés Réamur (1683-1757) lanzó un reto a la comunidad matemática y les pidió a varios colegas que determinasen qué ángulo deberían tener los rombos de la base de una celdilla para que ésta pudiese almacenar el mayor volumen posible. El suizo Johan Samuel Köning (1712-1757) respondió y dio los siguientes ángulos como solución: 109º 26´ y 70º 34´. Un pequeño diferencial de 2´. ¿Cómo fue posible que un reputado matemático como Köning se hubiese equivocado?. La razón estriba en que utilizó unas tablas logarítmicas con un error de imprenta. La consecuencia de este hallazgo no fue baladí ya que estas mismas tablas se usaban para calcular la longitud (la distancia al meridiano de Greenwhich) en los viajes marítimos.
La Realidad de la Construcción
En realidad no. Estudios recientes demuestran que, de hecho, las abejas construyen sus celdillas de forma circular, lo que sucede es que para hacerlo deben calentar la cera, este aumento de temperatura hace que este material se comporte como un semi-líquido. Podemos compararlo con las pompas de jabón.
Tabla comparativa de ángulos
| Medición/Cálculo | Ángulo Mayor | Ángulo Menor |
|---|---|---|
| Maraldi (Medición) | 109º 28' | 70º 32' |
| Köning (Cálculo) | 109º 26' | 70º 34' |
Si las celdillas fuesen redondas o con la forma de cualquier otro polígono, quedaría espacio de relleno entre ellas, con lo que se desperdiciaría parte de la preciada cera. Por qué sólo hexágonos, por qué no una combinación de polígonos?. ¿Por qué las abejas no construyen a base de cuadrados o triángulos?.
En 1974, el nombre de este patricio fue adoptado para denominar a un ácaro parásito de las abejas Varroa destructor que es el causante de la muerte de miles de colmenas. Abeja parasitada por Varroa.
Geometría Axiomática Proyecto Práctico \ Teorema del panal y los hexágonos en la naturaleza
En este apartado hemos hablado de polígonos y, entre ellos, de los hexágonos regulares. ¿Te habías planteado alguna vez por qué las abejas realizan sus panales con celdas con esta forma geométrica? ¿Será fruto del azar o hay una razón detrás de ello?