La división es un concepto fundamental en matemáticas. Para que los estudiantes tengan éxito aprendiendo y practicando la división, es crucial asegurarse de que conozcan las bases de la multiplicación hasta 81, y que sepan multiplicar por 0 y por 10. Si los alumnos tienen un buen dominio de las bases de la multiplicación, entonces aprenderán la división rápidamente.
Esta página es muy sencilla, comenzando con algunas divisiones básicas, que son solo multiplicaciones básicas expresadas de otra manera. La diferencia principal es que no se puede dividir por 0 y obtener un número real.
Métodos para Dividir Números Grandes
División Larga Tradicional
La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación, así que primero asegúrese bien de que lo hagan. Se trata de un algoritmo bello y eficiente que le permitirá resolver algunos de los problemas más complicados de división, que con los bloques base diez no se pueden ni pensar, además de que funciona igual de bien para decimales y números enteros.
Fije el concepto de la división en las mentes de sus alumnos con elementos manipulables. Usando bloques base diez, los estudiantes deben reagrupar todas las varas en cubitos para poder hacer pilas de a nueve. En lugar de enredar las cosas con lenguaje complicado (dividendo, divisor, cociente), trate de hacer preguntas como: "¿Cuántos ____ hay en ____?" Para el problema, 81 ÷ 9, la pregunta sería, "¿Cuántos 9 hay en 81?" Este tipo de preguntas beneficiaría al estudiante más tarde cuando deban conceptualizar la división decimal o de fracciones.
Método de Potencias de Diez
¿Necesita un método más sencillo para dividir números grandes? Pruebe este método usando potencias de diez. Para emplear este método exitosamente, los estudiantes deben ser capaces de multiplicar por potencias de diez, y de restar. Los estudiantes sustraen el dividendo multiplicado por potencias decrecientes de diez hasta que tengan cero o un resto.
Ejemplo: 1458 ÷ 54. Note que 54 × 1 = 54, 54 × 10 = 540 (no hace falta nada más grande). 1458 - 540 - 540 = 378. Note que 540 fue sustraído dos veces, así que el número de veces que 54 "cabe" en 1458 hasta ahora es 20. Continuando, 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0. Como 54 fue sustraído siete veces, el cociente aumenta en siete para un total de 27.
Debemos mencionar también que este método puede ser todavía más sofisticado si se usan múltiplos de potencias de diez.
Uso de Restos para Mayor Precisión
¿Alguna vez ha pensado que se puede ayudar a un estudiante a entender mejor y a obtener una respuesta más precisa empleando los restos? Es en verdad muy sencillo. Los restos normalmente se dan fuera de contexto, incluyendo en las hojas de ejercicios que siguen. Un resto es realmente el numerador de un cociente fraccionario. Por ejemplo, 19 ÷ 3 es 6 con un resto de 1, o más precisamente 6 1/3. Al usar cocientes fraccionarios, los estudiantes siempre serán capaces de encontrar la respuesta exacta a todas las preguntas de división larga, y en muchos casos la respuesta será incluso más precisa.
Reglas de Divisibilidad
Las reglas de divisibilidad son herramientas útiles para simplificar la división:
- Divisible por 2: Si el dígito final es par (0, 2, 4, 6, 8).
- Divisible por 5: Si el dígito final es 0 ó 5.
- Divisible por 3: Si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 285 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 5 = 15 es divisible por 3.
- Divisible por 6: Si es divisible a la vez por 2 y por 3.
- Divisible por 9: Si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
- Divisible por 4: Si sus últimos dos dígitos son divisibles por 4.
- Divisible por 8: Si sus últimos tres dígitos son divisibles por 8.
Para el 7, se pueden usar un par de estrategias. Por favor visite Reglas de divisibilidad por más información.
Ejemplo Paso a Paso de División por Dos Cifras
Aquí te mostramos un ejemplo paso a paso para dividir por dos cifras:
- Tomar tantas cifras del dividendo como cifras tenga el divisor. En este ejemplo queremos dividir 9687 entre 23.
- Dividir el primer número del dividendo (o los dos primeros números si en el paso anterior has tenido que tomar otra cifra más) entre la primera cifra del divisor.
- Multiplicar la cifra del cociente por el divisor, el resultado escríbelo debajo del dividendo y réstalo.
Método ABN para la División por Dos Cifras
El algoritmo de la división por dos cifras es cualitativamente distinto al de una cifra, el formato de rejilla escrita es idéntico pero el algoritmo no (Martínez Montero, 2017). En el caso de divisiones con números de dos cifras será necesario crear un nuevo referente, las escalas, que recoge los resultados de algunos productos claves y fáciles de hallar.
En el tema 9 sobre el producto en el Método ABN, se trabajó el aprendizaje de las tablas del 1 al 12, incluyendo estas dos últimas tablas del 11 y 12, que normalmente en la metodología tradicional no se trabaja. En figura 13, se presenta un ejemplo de estas primeras divisiones entre dos cifras en 3º de EP, utilizando de apoyo la tabla del 12 y los ajustes necesarios para resolver la operación.
La resolución presentada en la figura 13, muestra cómo con el apoyo y ajuste de las escalas creadas por el propio alumnado, pueden resolverse las primeras divisiones por dos cifras. Por lo que, de los 2.563 libros, colocamos 2.400, repartiendo en cada estantería 200 libros. Todavía me quedan 163 libros que colocar en las estanterías, necesitando ajustar la tabla extendida a las decenas para poder hacer el siguiente reparto.
Ahora he cogido 144 de los 163 libros que quedaban por repartir, y pongo en cada estantería 12 libros más. Ya he colocado en cada estantería 212 libros, pero me quedan 19 por repartir en las estanterías. Por último, de los 19 libros, cojo 12 y coloco un libro más en cada estantería.
En este nivel se deben continuar haciendo las preguntas sobre el resto y los pasos llevados a cabo en la rejilla, para mejorar la comprensión del problema. Este entrenamiento en escalas, se debe practicar durante bastante tiempo, ya que es la clave para la posterior división en rejilla.
Creación de Escalas para la División
Para introducir a la división por dos cifras y la creación de escalas, se deben realizar una gran variedad tareas de estimación con ayuda de las escalas creadas por los propios/as alumnos/as. Se han de graduar los tamaños de los divisores, e ir haciéndolos crecer poco a poco.
La verbalización de las escalas es fundamental. En el ejemplo de escalas de la figura 14, se explicaría de la siguiente manera: si repartimos 1 libro para cada uno de los 24 niños/as, necesitaríamos 24 libros.
Estimaciones con Escalas
Por ejemplo, si se parte de la siguiente escala (figura 15), se irán realizando estimaciones con diferentes cantidades, para que tengan el entrenamiento adecuado y posteriormente se pueda pasar al desarrollo en la rejilla por escrito.
En el siguiente reparto, de las 1.157 latas que quedan por repartir, podremos coger 900 latas y en cada camión meteremos 60 latas más. Ya hemos metido en cada camión 1.160 latas. En el siguiente paso debemos ajustar la escala de nuevo, ya que el 107 no está en la escala que teníamos creada, por lo que creamos una tabla 10 veces menor que la que teníamos ajustada.
En Smartick nos parece muy importante que seáis capaces de llegar al mismo resultado siguiendo distintas estrategias.